L'intuizionismo di Odifreddi

 

Grande considerazione per le belle conferenze di Odifreddi sulla storia della logica e della crisi dei fondamenti, che ho scoperto da poco e sto ascoltando, ma qualche discordanza, una dei quali rig    uarda l’intuizionismo. Cercherò di parlarne ora ma per favore chi legga tenga conto che sono solo un dilettante.

Considero l’intuizionismo una filosofia che corre sul principio “Si conosce solo ciò che si costruisce” che Hobbes prese come principio guida della sua filosofia e che Vico accalappiò al volo per dare inizio alla sua filosofia della storia. Una filosofia che accomuna la storia del “costruire solo con riga e compasso di cui lei parla e la filosofia del sapere di Hobbes, con la differenza che i matematici greci non limitavano l’esercizio della matematica a quei problemi mentre per Hobbes si conosce solo ciò che si riesce a costruire. In questo senso sono diffidente al pensiero che la matematica intuizionista sia una parte della matematica generale nello stesso senso con cui lo è la parte della matematica che studia ciò che si può costruire con solo riga e compasso. 

Quanto alla derivazione e ai motivi del suo sorgere, lo vedo più come a uno dei possibili esiti dovuti allo scoppia della bomba Cantor.

L’edificio di Cantor ebbe fra i matematici appassionati ammiratori e tenaci detrattori: per alcuni, tra cui Hilbert era un paradiso, per altri, tra cui Kroneker e Poincarè, un palazzo di orrori, un colosso dai piedi di argilla, quasi una truffa, per altri ancora, tra cui Herman Weyll una fonte di esaltazioni e di dubbi, quasi una moderna torre di Babele.

Dopo Cantor la matematica non poté più essere la stessa. L'illimitata serie degli Aleph era stata ottenuta con un procedimento dimostrativo non costruttivo e coloro, che in essa videro un parto mostruoso e fantastico, puntarono il loro dito accusatore su quella dimostrazione. (*)

In realtà era l'essenza stessa del ragionamento matematico che vacillava. Quando si afferma che questo tipo o quel tipo di inferenza o concettualità non sono di tipo matematico, si pone la domanda su quali siano le entità accettabili in matematica e quali siano i ragionamenti corretti, quali i criteri per giudicare di questi e di quelli. Questa domanda sulle entità e sui tipi di inferenza è tanto più inquietante perché coinvolge e nasconde l'antico e irrisolto enigma ontologico su ciò che c’è in matematica e su cosa sia la matematica. La matematica è una scienza di scoperta o d’invenzione? Se è una costruzione come dobbiamo costruirla?

 Borges pone Zenone e Kafka fra i creatori di labirinti, e Cantor fra i risolutori di quegli labirinti. E’ più probabile che Cantor appartenga sia agli uni che agli altri. In lui convissero il mistico che lo attirò nei labirinti dell'infinito ed il razionale che lo spinse a ordinarli. Sia Cantor che Dedekind fecero un uso intenso degli insiemi, ma mentre il secondo lo vedeva come un sacco di oggetti, il primo lo vedeva come un abisso. Cantor pensava di essere solo un descrittore di quel mondo che solo l'infinita grandezza di Dio aveva creato. Per se stesso aveva riservato unicamente il merito di un'attenta lettura. Altri vi videro non una lettura fedele, ma una grandiosa ed onirica costruzione che qualcuno paragonò alla creazione del Kublai Khan di Coleridge. In questi diversi atteggiamento rivivono le opposte ontologie del realismo platonico e del nominalismo aristotelico.

Si è già detto che per Kronecher, potente professore a Berlino, l’edificio di Cantor non era che un indominabile marchingegno per la creazione di mostri. Nella sua lotta contro Cantor  fu impietoso. La sua vittoria fu pressoché totale. Le idee di Cantor, furono bollate dal mondo accademico come eretiche e errate. La sconfitta di Cantor, fu così cocente da indurlo alla più cupa depressione e al suicidio. Il contrasto fra i due fu, oltre che personale, uno scontro tra due ideali, tra due interpretazioni del mondo e della matematica.

Borges nel suo L’usignolo di Keats, ricordando come, secondo Coleridge, gli uomini nascano aristotelici o platonici, commenta:“ Gli ultimi sentono che le classi, gli ordini e i generi sono realtà; i primi che sono generalizzazioni; per questi, il linguaggio non è altro che un approssimativo gioco di simboli; per quelli è la mappa dell’universo. Attraverso le latitudini e le epoche, i due antagonisti immortali cambiano di lingua e di nome: uno è Parmenide, Spinoza, Kant, Bradley; l’altro, Eraclito, Aristotele, Locke, Hume, William James.”

 Coleridge e Borges avrebbero interpretato il caso Cantor-Kroneker, non come uno scontro fra quei caratteri singolari che furono Cantor e Kroneker, ma piuttosto come un episodio della guerra eterna che oppone la concettualità aristotelica a quella platonica, in loro incarnate. In effetti, i grandi oppositori di Cantor, come Poincarè, Kroneker, Weyll e Brouwer, erano gli esponenti di una maniera nominalista di far matematica che in precedenza aveva annoverato fra i suoi credenti anche il grande Gauss. Rivive nei seguaci di Cantor e nei suoi detrattori l'antico contrasto fra realismo e nominalismo, fra aristotelici e platonici, fra una concezione costruttivista e una descrittiva della matematica, un contrasto che in qual che modo impregna di se tutta la storia del pensiero in generale e che, dopo Cantor, emerge in maniera esplicita e consapevole anche in quella matematica, che molti suoi cultori ritenevano al sicuro da ogni corruzione filosofica.

 La dimostrazione che Cantor aveva posto a base dell'esistenza dell'infinita serie degli Aleph non era costruttiva. Per tutti i matematici che, in una qualche maniera credono, in un universo in cui numeri classi e relazioni esistono, l'obiezione contro l'uso delle dimostrazioni non costruttive era irrilevante. Per gli altri, che vedono i numeri e le infinite geometrie come costruzioni, i procedimenti non costruttivi erano almeno sospetti. Mentre per i primi il mondo di Cantor è quasi irrefutabile per i secondi è possibile l'alternativa dell'accettazione o del rifiuto. Ciò che li divideva erano gli insiemi infiniti. Ha senso parlare di infinito attuale in aritmetica o l’unico infinito ammissibile è quello potenziale? Come influisce nel ragionamento matematico e nei suoi risultati la risposta a questa domanda? La questione, non era solo di principio, ma coinvolgeva piani concettuali diversi e distinti che complicavano e articolavano enormemente l’ambito di ciò che si doveva considerare matematica.

E’ naturale che i predicativisti accettassero solo infinità numerabili (e quindi dominabili) e che comunque ogni passaggio costitutivo di enti dovesse avvenire con definizioni non ambigue. Chiamate in causa erano soprattutto quelle espressioni ambigue per eccellenza contenenti o il quantificatore universale "Tutti i...” o il quantificatore esistenziale “Esiste almeno un...”.I quantificatori furono introdotti in logica da Frege e la loro interpretazione divenne subito un’ossessione. Frege e Russell, in coerenza con la fede platonico-realista di entrambi, li usarono con disinvoltura, senza porsi alcun drammatico interrogativi. 

Per Frege e per Russell le espressioni con quantificatori erano "vere" proposizioni munite di senso riguardo alle quali si poteva, almeno in linea di principio, poter giudicare circa la loro "verità" o la loro "falsità". Questa convinzione era osteggiata dai predicativisti. Sia Brouwer sia Hilbert sia Weyll negavano a queste espressioni lo statuto di proposizioni. Che senso possiamo dare, sosteneva Weyll, ad espressioni del tipo "Esiste un x tale che..." quando non disponiamo di una procedura per produrre questo esemplare di cui affermiamo l'esistenza e di cui, quindi non sappiamo come possa essere costruito o, addirittura, se sia costruibile? "Se la conoscenza è un tesoro", dice Weyll, “la proposizione esistenziale è un documento che ci attesta l'esistenza del tesoro, ma non ci dice dove trovarlo "Il che è come dire che è insensato asserire che quel tal numero se non si sa come costruirlo.

Brouwer, assai più radicalmente, negò validità incondizionata al principio del terzo escluso. A proposito del numero  ha senso chiedersi se sia razionale o irrazionale? Brouwer lo escludeva: visto che il numero  non può essere costruito.

Una diversa matematica o solo una diversa filosofia della matematica? Probabilmente la seconda anche se devo ammettere che questa diversa filosofia influisce sui risultati. 

Un grande grazie, in ogni caso al Prof Odifreddi  in una cultura, quella italiana, dove la cultura è ancora crociana. Ma Croce era un grande filosofo mentre i suoi seguaci, l'intera classe dei giornalisti, è solo ignorante. Le conferenze di Odifreddi mostrando che la matematica non è un insieme di ragionamenti puramente meccanici, sono anche un salutare ponte tra cultura scientifica e cultura umanistica. 

Ezio Saia

 esaiae07@gmail.com